Álgebra lineal Ejemplos

$T ([\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}]) = [\begin{array}{c} 2 a - b + 5 d \\ - 4 a + 2 b - 10 d \end{array}]$

Paso 1

La transformación define un mapa de $ℝ^{3}$ a $ℝ^{2}$ . Para probar que la transformación es lineal, esta debe conservar la multiplicación escalar, la suma y el vector cero.

T: $ℝ^{3} \to ℝ^{2}$

Paso 2

Primero pruebe que la transformación conserva esta propiedad.

$T (x + y) = T (x) + T (y)$

Paso 3

Establece dos matrices para comprobar que $T$ conserva la propiedad de la suma.

$T ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

Paso 4

Suma las dos matrices.

$T [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

Paso 5

Aplica la transformación al vector.

$T (x + y) = [\begin{array}{c} 2 (x_{1} + y_{1}) - (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3}) \\ - 4 (x_{1} + y_{1}) + 2 (x_{2} + y_{2}) - 10 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Paso 6

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 6.1

Reorganiza $2 (x_{1} + y_{1}) - (x_{2} + y_{2}) + 5 (x_{3} + y_{3})$ .

$T (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - x_{2} + 5 x_{3} + 2 y_{1} - y_{2} + 5 y_{3} \\ - 4 (x_{1} + y_{1}) + 2 (x_{2} + y_{2}) - 10 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Paso 6.2

Reorganiza $- 4 (x_{1} + y_{1}) + 2 (x_{2} + y_{2}) - 10 (x_{3} + y_{3})$ .

$T (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - x_{2} + 5 x_{3} + 2 y_{1} - y_{2} + 5 y_{3} \\ - 4 x_{1} + 2 x_{2} - 10 x_{3} - 4 y_{1} + 2 y_{2} - 10 y_{3} \end{array}]$

Paso 7

Divide el resultado en dos matrices mediante la agrupación de las variables.

$T (x + y) = [\begin{array}{c} 2 x_{1} - x_{2} + 5 x_{3} \\ - 4 x_{1} + 2 x_{2} - 10 x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 y_{1} - y_{2} + 5 y_{3} \\ - 4 y_{1} + 2 y_{2} - 10 y_{3} \end{array}]$

Paso 8

La propiedad de la suma de la transformación se mantiene verdadera.

$T (x + y) = T (x) + T (y)$

Paso 9

Para que una transformación sea lineal, debe mantener la multiplicación escalar.

$T (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}])$

Paso 10

Factoriza la $p$ de cada elemento.

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Paso 10.1

Multiplica $p$ por cada elemento en la matriz.

$T (p x) = T ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p d \end{array}])$

Paso 10.2

Aplica la transformación al vector.

$T (p x) = [\begin{array}{c} 2 ((p a) - (p b) + 5 (p d)) \\ - 4 ((p a) + 2 (p b) - 10 (p d)) \end{array}]$

Paso 10.3

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 10.3.1

Reorganiza $2 ((p a) - (p b) + 5 (p d))$ .

$T (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p - 2 b p + 10 d p \\ - 4 ((p a) + 2 (p b) - 10 (p d)) \end{array}]$

Paso 10.3.2

Reorganiza $- 4 ((p a) + 2 (p b) - 10 (p d))$ .

$T (p x) = [\begin{array}{c} 2 a p - 2 b p + 10 d p \\ - 4 a p - 8 b p + 40 d p \end{array}]$

Paso 10.4

Factoriza cada elemento de la matriz.

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Paso 10.4.1

Factoriza el elemento $0, 0$ mediante la multiplicación de $2 a p - 2 b p + 10 d p$ .

$T (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 2 b + 10 d) \\ - 4 a p - 8 b p + 40 d p \end{array}]$

Paso 10.4.2

Factoriza el elemento $1, 0$ mediante la multiplicación de $- 4 a p - 8 b p + 40 d p$ .

$T (p x) = [\begin{array}{c} p (2 a - 2 b + 10 d) \\ p (- 4 a - 8 b + 40 d) \end{array}]$

Paso 11

La segunda propiedad de las transformaciones lineales se conserva en esta transformación.

$T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ d \end{array}]) = p T (x)$

Paso 12

Para que la transformación sea lineal, se debe conservar el vector cero.

$T (0) = 0$

Paso 13

Aplica la transformación al vector.

$T (0) = [\begin{array}{c} 2 (0) - (0) + 5 (0) \\ - 4 \cdot 0 + 2 (0) - 10 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 14

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 14.1

Reorganiza $2 (0) - (0) + 5 (0)$ .

$T (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ - 4 \cdot 0 + 2 (0) - 10 \cdot 0 \end{array}]$

Paso 14.2

Reorganiza $- 4 \cdot 0 + 2 (0) - 10 \cdot 0$ .

$T (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Paso 15

La transformación conserva el vector cero.

$T (0) = 0$

Paso 16

Como las tres propiedades de las transformaciones lineales no se cumplen, esta no es una transformación lineal.

Transformación lineal